Odbojkarske vstopnice za Pariz se delijo na več različnih načinov, eno mesto dobi Francija kot država gostiteljica, šest jih je bilo razdeljenih v lanskih kvalifikacijah (iz slovenske skupine so napredovale ZDA in Japonska), preostalih pet mest pa bo podeljenih glede na jakostno lestvico. Ta je trenutno (na dan 11. 6. 2024) videti takole.

Slovenija je torej trenutno druga med tistimi, ki še niso uvrščeni na olimpijske igre, prehiteti pa jo smeta še največ dve reprezentanci. Čeprav je na voljo pet mest, gre eno mesto najboljši afriški reprezentanci, zato mora biti (med reprezentancami v modri barvi) vsaj četrta. Rez bo narejen po ljubljanski skupini lige narodov. Prednost pred Kubo, ki je trenutno peta med lovci na zadnje vstopnice, se zdi velika. Velika večina odbojkarjev, odbojkarskih delavcev in navijačev je prepričanih, da bo Slovenija "skoraj zagotovo" nastopila v Parizu, a nas zanima, ali lahko iz besedne zveze "skoraj zagotovo" prečrtamo skoraj. In ja − lahko! Pri tem nam je pomagal dr. Matjaž Konvalinka, profesor s Fakultete za matematiko in fiziko, ki je za naš statistični portal Športni SOS napisal že nekaj nadvse zanimivih matematičnih in statističnih izpeljav. Na tem mestu besedo prepuščam profesorju Konvalinki, ki je s programom Mathematica preračunal možne scenarije, svoj razmislek pa utemeljuje takole:

Do olimpijskih iger se bo lestvica še spreminjala zaradi lige narodov, ki bo potekala prihodnji teden v Ljubljani in v Manili na Filipinih.

Sorodna novica Za konec padli še Bolgari; Cretu v Stožicah pričakuje 18.000 navijačev

Kako se oblikuje svetovna lestvica?
Vsaka reprezentanca ima v vsakem trenutku neko število točk. Ko dve reprezentanci odigrata tekmo, se izračuna novo število točk, pri čemer se upoštevajo trenutne točke, rezultat tekme in pomembnost tekmovanja. Lestvica se osveži neposredno po končani tekmi. Podrobnosti s primerom so napisane na tem mestu. Naj pripomnim, da je formula za izračun novih točk precej komplicirana.

Kako lahko izračunamo, ali je Slovenija že na olimpijskih igrah?
Prihodnji teden bodo v Ljubljani odigrali 16 tekem. Ker je na vsaki tekmi šest možnih rezultatov (3:0, 3:1, 3:2, 2:3, 1:3, 0:3), to pomeni, da je možnih izidov turnirja 6^16 = 2.821.109.907.456 – to je skoraj 3000 milijard! Prav toliko je možnih izidov na turnirju v Manili. Pomembno je, da tudi tekme reprezentanc, ki se zagotovo ne bodo uvrstile na olimpijske igre, vplivajo na vse druge. Na primer, če Bolgarija premaga Turčijo 18. 6., bo Kuba, če 21. 6. premaga Bolgarijo, zaradi tega dobila več točk, kot če bi zmagala Turčija.

Ali moramo res preveriti vseh 2.821.109.907.456 možnosti?
Na srečo ne. Zanima nas samo, ali lahko določena reprezentanca še prehiti Slovenijo. Če nas zanima, ali lahko Kuba prehiti Slovenijo, lahko predpostavimo, da bo Slovenija izgubila vse svoje tekme s 3:0, Kuba pa vse svoje zmagala s 3:0. Prav tako je očitno, da nekatere tekme (na primer tekma zadnjega dne med Turčijo in Italijo) ne bo vplivala na uvrstitev. Število možnih kombinacij se na ta način zelo zmanjša.

Torej: ali lahko Argentina, Srbija in Kuba vse prehitijo Slovenijo?
Da, vsaka od njih lahko prehiti Slovenijo. Kuba jo denimo prehiti, če so rezultati tekem v Ljubljani naslednji:

Sorodna novica Zgodovinska prva zmaga Slovencev nad Brazilci!

Bolgarija − Turčija 3:0
Slovenija − Argentina 0:3
Kuba − Srbija 3:0
Italija − Poljska 3:0
Turčija − Argentina 3:0
Bolgarija − Italija 3:0
Kuba − Slovenija 3:0
Argentina − Poljska 3:0
Bolgarija − Kuba 0:3
Turčija − Srbija 0:3
Bolgarija − Argentina 0:3
Srbija − Poljska 3:0
Slovenija − Italija 0:3
Kuba − Poljska 3:0
Turčija − Italija 0:3
Srbija − Slovenija 3:0
V tem (zelo malo verjetnem!) primeru bi imela Slovenija 290,70 točke, Kuba pa 294,36 točke.

Ali to pomeni, da Slovenija še ni zagotovo uvrščena na olimpijske igre?
Na srečo se izkaže, da Slovenije, čeprav jo lahko prehitijo Argentina, Srbija in Kuba, ne morejo prehiteti vse hkrati. Razmislek je narejen spodaj. Glavni razlog za to je, da bi morali Kuba in Srbija, da bi prehiteli Slovenijo, zmagati na vseh svojih tekmah, Slovenija pa vse svoje izgubiti. Ker pa bosta Kuba in Srbija igrali druga z drugo, ena od njiju Slovenije ne more prehiteti − lahko pa še vedno prehiti Argentino in se tako uvrsti na olimpijske igre.

Sorodna novica Štiri zmage na Japonskem bi prinesle sproščeno igro v Stožicah

Namesto pregleda vseh možnosti: zgornje in spodnje meje
Razmislimo, kako bi brez pregleda vseh možnosti ocenili, koliko točk ima lahko na koncu lige narodov Srbija. Največ točk na posamezni tekmi seveda dobi, če zmaga s 3:0. Več točk pa pri taki zmagi dobi, če ima tudi nasprotna ekipa čim več točk. Nasprotna ekipa ima največ točk, če vse svoje prejšnje tekme zmaga z rezultatom 3:0 − da pa bo tam dobila čim več točk, bi morale tudi vse nasprotne ekipe vse svoje prejšnje tekme dobiti z rezultatom 3:0.

Postopek je torej naslednji: gremo čez vse tekme posameznega turnirja in novo lestvico izračunamo pri (seveda nemogoči) predpostavki, da sta obe ekipi zmagali z rezultatom 3:0. Na koncu imamo za vsako ekipo zgornjo mejo za število točk. Tak postopek nam recimo za Srbijo, Kubo in Nizozemsko pove, da njihovo končno število ne bo preseglo 300,38, 297,62 in 268,58 točke. Te zgornje meje niso daleč od dejanskih najvišjih možnih vrednosti. Na primer, s primernim razpletom tekem v Ljubljani lahko Srbija pride do 300,20 točke, Kuba pa do 297,56 točke.

Sorodna novica Pri 38 letih umrl najvišji Američan

Zgornja meja ni isto kot maksimum
Naj poudarimo, da zgornja meja ni isto kot maksimum: to je le število, ki je zagotovo večje ali enako od vseh možnih dejanskih izidov. To lahko ponazorimo s primerom: 5 metrov je zagotovo zgornja meja za višino človeka. Največji človek v zgodovini je bil po Guinnessovi knjigi rekordov Robert Wadlow z 272 centimetri, torej je maksimalna višina človeka do zdaj 272 centimetrov, zgornja meja pa katerakoli višina od tu navzgor.

Dobra novica: odigrana bo tekma Srbija − Kuba
Podobno lahko izračunamo spodnjo mejo za število točk, ki jih ima lahko po koncu lige narodov posamezna reprezentanca. Gremo čez vse tekme turnirja in novo lestvico izračunamo pri predpostavki, da sta obe ekipi izgubili z izidom 3:0. Za Slovenijo je ta spodnja meja enaka 286,74 točke. Slovenija v resnici lahko z izjemno neugodnim razpletom turnirja pride do 287,69 točke, tako da ocena spet ni daleč od dejanske možnosti. Videli smo torej, da Nizozemska (in podobno Ukrajina, Turčija itd.) Slovenije niti teoretično več ne more prehiteti, saj je njena zgornja meja manjša od spodnje meje za Slovenijo. Lahko jo prehitita tako Srbija kot Kuba, še lažje pa Argentina, ki za Slovenijo zaostaja samo za dobrih 30 točk. Vendar bosta na srečo Srbija in Kuba odigrali tekmo med sabo prav na začetku turnirja v Ljubljani. Za vsak mogoči izid si oglejmo, kakšne so nove spodnje meje za Slovenijo in nove zgornje meje za Srbijo in Kubo.

Opombe:
− Izid: Vseh šest možnih razpletov na tekmi Srbija − Kuba.
− SLO sp. meja: Spodnja meja točk za Slovenijo.
− SRB zg. meja: Zgornja meja točk za Srbijo.
− KUB zg. meja: Zgornja meja točk za Kubo.

Vidimo, da v vsakem primeru poražena reprezentanca Slovenije ne more več prehiteti. To pomeni, da je slovenska odbojkarska reprezentanca že uvrščena na olimpijske igre. Čestitke!

Naj dodamo, da v matematiki, računalništvu in drugje pogosto naletimo na probleme, kot je zgoraj, kjer je vseh možnosti eksponentno mnogo (v našem primeru 6^n, kjer je n število tekem). Eksponentna funkcija izjemno hitro raste in kmalu tudi najhitrejši računalnik vseh možnosti ne more več pregledati. Pogosto pa lahko najdemo hitrejši postopek, ki morda ne da natančnega rezultata, nam pa vseeno da pomembne informacije o problemu. Zgornji postopek iskanja zgornje in spodnje meje je linearen: za n tekem moramo izračunati samo 2n možnih izidov (3:0 in 0:3 za vsako tekmo). Hkrati pa je dovolj natančen, da nam dokaže, da je Slovenija že uvrščena na olimpijski turnir.

Vabljeni k branju/poslušanju:
− Matjaž Konvalinka v podkastu Številke
− Statistika pri analizi podaljšanih iger v tenisu
− Statistika pri analizi enajstmetrovk v nogometu