Koncept neskončnosti je izmuzljiv in se upira našemu dojemanju, ki ima težave že z zelo velikimi razsežnostmi, ki jih za nas predstavljajo meje vidnega vesolja. A neskončnostim za zdaj še ne moremo ubežati, saj je matematika, kot jo poznamo, prežeta z njimi.
Številska premica se razteza v neskončnost in naprej ter je neskončno deljiva; med dvema številoma se skriva še neskončno majhnih. Število števk v konstantah, kot je npr. število pi, je neomejeno. Najsi bo trigonometrija ali aritmetika, matematične manipulacije, ki jih uporabljamo za osmišljanje sveta, temeljijo na ideji, da se nekatere stvari nikoli ne končajo.
A neskončnost je težavna in težko ukrotljiva zver. Sesuva enačbe fizikov, ki poskušajo razložiti osnove narave, in preprečuje nastanek enotnega pogleda na sile, ki oblikujejo naše vesolje. A najhuje šele pride - če primešamo neskončnost eksplozivni mešanici, ki je sprožila nastanek vesolja, ugotovimo, da nismo zmožni napovedati prav ničesar. Porodilo se je torej drzno vprašanje: ali lahko odpravimo neskončnost?
Zgodovina ni marala neskončnosti
"Večino časa v matematični zgodovini so na neskončnost gledali zadržano," pravi avstralski matematik Norman Wildberger z univerze Novega Južnega Walesa v Sydneyju. Za velikane misli, kot so Aristotel, Newton in Gauss, je bila neskončnost zgolj "mogoča neskončnost". Ta nam dovoljuje, da lahko kateremu koli številu vedno dodamo še eno enko, brez strahu, da bomo kdaj prišli do konca, ki ga nikoli sploh ne dosežemo. To je precej drugače od današnje neskončnosti, ki je že bila dosežena in priročno zapakirana v matematično entiteto, s katero manipuliramo v enačbah.

Temelje za današnjo neskončnost je v 19. stoletju postavil nemški matematik Georg Cantor, ki je izumil teorijo množic. Sodeč po Cantorju so množice, ki vsebujejo neskončno število elementov, matematični objekti sami po sebi. To je matematikom omogočilo, da so na rigorozen način prizemljili številke in začeli realna števila obravnavati kot dejansko, in ne zgolj mogočo neskončnost.

A za fizike se nebesa, iz katerih se matematiki ne pustijo izgnati, zdijo bolj kot vice. Čeprav so leta garanja številnih Nobelovih nagrajencev pregnala nekatere nesmiselne neskončnosti, pa se gravitacija še vedno uspešno upira teoriji velikega poenotenja. V ekstremnih situacijah, kot je srčika črne luknje, se Einsteinove enačbe relativnostne teorije sesujejo, saj postane snov neskončno gosta in vroča, prostor-čas pa neskončno spojena.
Ko veš vse in ničesar hkrati
Neskončnost pa največje razdejanje povzroči pri velikem poku, saj teorija kozmične inflacije predpostavlja, da je vesolje v svojem prvem delčku sekunde doživelo izbruh hitre širitve. Omenjena teorija sicer razloži ključne poteze vesolja, a je njena težava, da se ne ustavi in posledično ustvarja neskončni "multiverzum" v nenehnem toku velikih pokov. V takem vesolju se bo vse, kar se lahko zgodi, neštetokrat tudi zgodilo, zato takšna teorija predvidi vse in hkrati pravzaprav ničesar.
"Inflacija nam pravi, da je pri tem, kar delamo, nekaj popolnoma zavoženega. Neka zelo osnovna predpostavka je povsem napačna," meni kozmolog Max Tegmark s Tehnološkega inštituta v Massachusettsu (MIT). Ta osnovna predpostavka je za Tegmarka prav neskončnost. "Gre za ultimativno nepreverjeno domnevo," je prepričan.
Zelooo velikooo, a vseeno omejeno
In po njegovem mnenju tudi neupravičeno. Študije kvantnih lastnosti črnih lukenj, ki sta jih v 70. letih preteklega stoletja izvedla Stephen Hawking in Jacob Bekenstein, so privedle do razvoja holografskega načela. To določa, da je največja mogoča količina informacij, ki se jih da spraviti v kateri koli volumen prostora-časa, približno sorazmerna eni četrtini površini njegovega horizonta. Naše vesolje lahko po tej teoriji shrani največ 10^122 drobcev informacij. Za neskončnost torej ni prostora.
"Mislim, da nihče ne mara neskončnosti. Ni rezultat nobenega eksperimenta," je kritičen Raphael Bousso z univerze Kalifornija v Berkeleyju. A kako se je znebiti? Wildberger poskuša razvozlati prav to vprašanje, k čemur ga je prisilil moteči učinek neskončnosti na njegov predmet. "Moderna matematika ima nekaj resnih logičnih šibkosti, ki so na tak ali drugačen način povezane z neskončnostjo," je prepričan.

Zato že zadnje desetletje razvija novo, neskončnosti prosto različico trigonometrije in evklidske geometrije. V standardni trigonometriji je neskončno vedno prisotno. Koti so določeni glede na obseg kroga in posledično vezani na neskončno decimalk v številu pi. Funkciji sinus in kosinus sta povezani z neskončnim številom izrazov in se ju zato lahko izračuna zgolj približno.

Wildbergerjeva "racionalna geometrija" se želi izogniti tem neskončnostim, kjer bi npr. kote zamenjal z neke vrste razporeditvijo (v izvirniku spread, op. p.), ki je ne bi definirala navezava na krog, ampak bi bila racionalni proizvod, pridobljen iz matematičnih vektorjev, ki predstavljata dve črti v prostoru.
Spoznajte N[0]
Za Dorona Zeilbergerja z univerze Rutgers v Piscatawayu v New Jerseyju to načelo obeta. "Vse je narejeno povsem razumsko. To je čudovit pristop," je navdušen. A po drugi strani bi matematična inkvizicija Zeilbergerja najverjetneje sežgala na grmadi, saj se zavzema za popolno odpravo dejanske in mogoče neskončnosti.
Pozabite na matematiko, ki ste jo poznali doslej, in se pripravite na končno veliko število, nekakšno svetlobno hitrost matematike. Začnete pri enki in štejete. Enkrat jo boste dosegli. In kako veliko je to največje število? "Tako je veliko, da ga ne boste mogli doseči. Ne vemo, kaj je, zato mu moramo nadeti neko ime, simbol. Jaz mu pravim N[0]," pojasnjuje Zeilberger. Kaj pa, če mu dodamo ena?
Zeilberger ima odgovor tudi na to, pri čemer se opira na računalniške procesorje oz. pojav, imenovan "overflow error", ki se zgodi, ko dosežete največje število, ki ga je procesor še zmožen obdelati. Presezite ga in dobili boste bodisi overflow error ali pa se bo število resetiralo na nič. Kot števec za kilometrino, ki se, ko doseže končno število kilometrov, ki jih še lahko meri, ponastavi na ničlo.

Za praktike končnost privlačna
A Boussov kolega z univerze Hugh Woodin, teoretik na področju matematičnih množic, je do tega pristopa skeptičen. "Lahko, da ima prav, seveda. A zame je ta pogled omejujoč. Zakaj bi ga nekdo uporabil, če za to nima močnih dokazov?" se sprašuje. Trenutno ideja o končnosti privlači predvsem programerje in inženirje robotike, ki se dnevno soočajo s končnimi oblikami matematike.
Računalniški procesorji namreč ne morejo obdelovati realnih števil v vsej njihovi neskončnosti. Za obdelavo uporabljajo aritmetiko t. i. plavajoče vejice, ki odreže številke od določenega decimalnega mesta naprej, naredi približek, ki v realnosti še vedno lahko zelo dobro deluje, in s tem prihrani delovni spomin. Da naše vesolje deluje na podoben način, je predpostavil že nemški inženir, pionir plavajoče vejice Konrad Zuse, za katerega je bila neskončna matematika zgolj približek diskretne in končne realnosti.
Vesolje ni računalnik - ali pač?
Tudi fiziki, utemeljuje Tegmark, svoje teorije preverjajo na računalnikih z omejenimi sposobnostmi računanja. "To že dokazuje, da ne potrebujemo koncepta neskončnega za kar koli, kar počnemo. Nobenega dokaza ni, da narava to počne na kakšen drug način oz. da obdela neskončne količine podatkov," je prepričan.
Seth Loyd, fizik in strokovnjak za kvantno informatiko, prav tako z MIT-a, pa svari pred poenostavljenimi analogijami med vesoljem in običajnimi računalniki. "Nobenega dokaza nimamo, da se vesolje vede kot klasični računalniki. Veliko pa je dokazov, da se vede kot kvantni računalnik," dodaja.
Težava pa na kvantni ravni nastane pri konceptu Schrödingerjeve mačke, ki je lahko v škatli bodisi živa bodisi mrtva. Dokler ne odpremo škatle, ne vemo. Stanje mačke namreč lebdi v superpoziciji vseh mogočih, medsebojno izključujočih se stanj, ki se med seboj neprestano zlivajo. Matematično se to lahko izrazi le z neskončnostjo. Podobno je tudi s kvantnimi računalniki, ki lahko hkrati izvedejo ogromno število med seboj izključujočih se operacij, vse dokler se od njih ne zahteva končni rezultat. "Če bi zares želeli specificirati polno stanje enega kubita, bi potrebovali neskončno količino podatkov," pojasnjuje Lloyd.
Končno vesolje bi bilo priročno
Vendar Tegmarka to ne gane. Ob odkritju kvantne mehanike pravi, da se je klasična mehanika izkazala zgolj za približek. Naslednja velika revolucija bo, ko se bo na področju kvantne mehanike pojavilo podobno spoznanje, da obstajajo globlje teorije, ki pa so končne, je prepričan. Lloyd mu vrača, da bi morali "preprosto delati s tem, kar imamo, namesto da poskušamo vesolju vsiliti naše predsodke".

Teorija končne matematike je privlačna, saj bi lahko privedla do nekega poenotenja fizikalnih teorij in po Tegmarkovem mnenju kozmologiji vrnila sposobnost napovedovanja, saj ne bi bili več soočeni z neskončnostjo, temveč zgolj s preštevanjem možnosti. Woodin bi želel ločiti matematično in fizikalno neskončnost: "Zna biti, da je fizika povsem končna. Ampak v tem primeru bi naše dojemanje teorije množic pomenilo, da smo odkrili resničnost, ki na neki način daleč presega fizično realnost."
Temark pa je prepričan, da sta obe resničnosti nerazdružljivo povezani – bolj ko se poglobimo, bolj se zdi, da so stvari zgrajene iz čiste matematike. Zanj je najusodnejše sporočilo težave merjenja to, da če želimo fizikalni svet očistiti neskončnosti, moramo ugasniti in ponovno zagnati tudi matematiko.